Differentialgleichungen bei Wachstums- und Zerfallsprozessen

 

Ein Vorschlag für einen Einführungsunterricht

 

Referat von Thomas Fischer

 

 

 

 

 

 

 

1 Einleitung

 

2 Differentialgleichungen im Analysisunterricht

 

3 Anwendungsorientierter Unterricht und Differentialgleichungen

 

4 Differentialgleichungen in den Schulbüchern

 

5 Unterrichtsvorschlag

 

5.1 Bierschaum als mathematischer Unterrichtsgegenstand

 

5.2 Vorraussetzungen

 

5.3 Ziele

 

5.4 Unterrichtsverlauf

 

6 Schluß

 

1 Einleitung

 

Das Thema Differentialgleichungen hat mich immer wieder angezogen, da mein zweites Fach Physik ist und mir dort, im Gegensatz zum Fach Mathematik, Differentialgleichungen ständig begegneten. Schon in der Schule wurde im Physikkurs oft von Differentialgleichungen gesprochen, aber eigentlich hatte ich keine Ahnung was Differentialgleichungen eigentlich sind. Als das Thema im Mathematikunterricht auftauchte, wurde zwar der Begriff "Differentialgleichung" klar, aber sonst war es eher enttäuschend, denn das, was wir da lernten, hatte mit dem, was wir im Physikunterricht hatten, scheinbar nichts mehr zu tun.

Unter LehramtsstudentInnen der Mathematik scheinen Differentialgleichungen nicht besonders beliebt zu sein, viele hatten das Thema überhaupt nicht in der Schule. So verschärfte sich bei mir der Eindruck, daß das Thema zu den Randgebieten der Schulmathematik gehört.

Nachdem ich mich also entschlossen habe, in das Thema tiefer einzusteigen, dachte ich zuerst an numerisches Lösen von Differentialgleichungen, da in der heutigen Praxis nur in seltenen Glücksfällen von vornherein Lösungsfunktionen bekannt sind und meist nur näherungsweise angegeben werden können. Die Planung der ersten Unterrichtsstunden beschäftigte mich dann aber so lange, daß schließlich aus meiner Arbeit ein Vorschlag für den Unterrichtseinstieg in das Thema "Differentialgleichungen" wurde.

 

 

2 Differentialgleichungen im Analysisunterricht

 

Im Bremer Lehrplan (Kursleisten zur Analysis von 1986) sind Differentialgleichungen als Thema des Analysisunterrichts nicht explizit vorgeschrieben. Allerdings gibt es durchaus Möglichkeiten Differentialgleichungen zu behandeln, über den geeigneten Zeitpunkt kann man allerdings streiten. Differentialgleichungen spielen bekanntlich in den Naturwissenschaften und in der Technik eine herausragende Rolle, die Behandlung im Mathematikunterricht hat deshalb für meine Begriffe ihre Berechtigung. Ich bin nicht der Meinung, daß die Behandlung von Differentialgleichungen zwingend notwendig ist, ich denke man sollte hier die Interessenlage der Schüler berücksichtigen. Aus meiner eigenen Schulzeit weiß ich, daß von vielen Schülern mit Interesse für das Fach Physik die Behandlung von Differentialgleichungen oft gewünscht wird, da im Physikunterricht die Lösungsfunktionen von Differentialgleichungen meistens einfach nur bereitgestellt werden.

Der Lehrplan sieht für den Analysisunterricht die Behandlung der e-Funktion vor, welche für die Lösungsfunktionen der Wachstums-, Zerfalls- und Schwingungsdifferentialgleichungen von besonderer Bedeutung ist. Im Grunde kommen genau diese Differentialgleichungen im Physikunterricht der Schule vor. Gerade die Wachstums- bzw. Zerfallsgleichung (f ' = k× f) und die Schwingungsdifferentialgleichung (f '' = - k2× f) sind von so großer Bedeutung in der Naturwissenschaft und auch anderen Anwendungsgebieten der Mathematik, daß man das Thema auf jeden Fall anbieten und gegebenenfalls im Analysisunterricht behandeln sollte. Im Kurs 13/2 des Mathematikunterrichts ist die Wahl des Themas relativ frei, dort könnten z. B. oben genannte Differentialgleichungen behandelt werden. Im Physikunterricht kommen die Differentialgleichungen dagegen viel früher vor, was wiederum gegen diesen Zeitpunkt spricht. Die Behandlung von Differentialgleichungen im Kurs 13/2 dient nebenbei der Wiederholung einiger Punkte der Differential- und Integralrechnung.

Wenn die Integralrechnung und die e-Funktion bereits behandelt worden ist, kann tiefer in das Thema eingestiegen werden. Aber auch ohne Integralrechnung und lediglich mit Kenntnis der wichtigsten Eigenschaften der e-Funktion ist für meine Begriffe eine Behandlung der Wachstums- bzw. Zerfallsgleichung möglich.

 

 

3 Anwendungsorientierter Unterricht und Differentialgleichungen

 

Das Üben ist meiner Meinung nach ganz wichtig für das Erlernen und Verstehen von Mathematik, dabei spielen natürlich auch Anwendungsaufgaben im herkömmlichen Sinne eine Rolle. Bei meiner Vorstellung von anwendungsorientiertem Mathematikunterricht steht allerdings nicht das Anwenden von vorher zur Verfügung gestellter Mathematik im Vordergrund, sondern die Anwendung sollte vielmehr der Mittelpunkt des Unterrichtsgeschehens sein. Dabei währe es schön, wenn die Schülerinnen und Schüler anhand der Anwendung die Mathematik im wesentlichen selbst entdecken, wesentliches Moment dabei ist die Mathematisierung von Situationen. Es ist zwar wünschenswert, daß diese Situationen sich auf die von den Schülern wahrgenommene Realität beziehen, allerdings halte ich es für nicht möglich, sich ausschließlich an realitätsbezogenen Anwendungen zu orientieren. Zum einen finde ich es außerordentlich schwierig, Anwendungsprobleme aus der Praxis zu finden, die dann so im Schulunterricht behandelt werden können. Zum anderen unterliegen viele Anwendungen Vereinfachungen und Einschränkungen, so daß sie mit der Praxis am Ende nichts mehr zu tun haben. In diesem Fall sollte man zumindest darauf eingehen, daß in Wirklichkeit anders vorgegangen wird. Ich habe es oft erlebt, daß ein Realitätsbezug hergestellt wird, den es so eigentlich nicht gibt. Man ahnt häufig, daß das Problem in der Praxis ganz anders gelöst wird. Ich möchte im Unterricht Anwendungen behandeln, die eine gewisse Wirklichkeitsnähe haben, ich möchte den Schülern aber nicht vormachen, daß sie etwas machen, was völlig praxisnah ist, obwohl es das nicht ist.

Deswegen tendiere ich mehr zu einem Mathematikunterricht der an Problemen orientiert ist, die nicht in jedem Fall realitätsbezogen sein müssen. Im Prozeß des Problemlösens liegt für mich die Anwendungsorientierung vor, wenn dieser Prozeß mathematisch gesehen durchaus in der Praxis zu finden ist, aber das Problem als solches kein reales Problem darstellt. Wichtig ist dabei allerdings, daß das Problem die Schüler anspricht und sie motiviert sind, das Problem zu lösen.

 

Bezüglich des Themas "Differentialgleichungen" wäre es demnach im Idealfall wünschenswert, ein Problem zu finden, bei dem die Schüler während der Lösungssuche automatisch auf eine Differentialgleichung stoßen, deren Lösung sie dann finden können. Schließlich ist in der Praxis nicht nur das Lösen einer Differentialgleichung ein Problem, sondern das Aufstellen der richtigen Differentialgleichung gehört ebenso zum Gesamtprozeß dazu.

Nun sind zwar Differentialgleichungen eine Anwendung von Mathematik schlecht hin, trotzdem scheint es unglaublich schwierig zu sein, ein für den Mathematikunterricht geeignetes Problem zu finden, welches die oben angesprochenen Kriterien erfüllt. Häufig fallen die Differentialgleichungen quasi vom Himmel. Meistens wird ein physikalisches Problem vorgestellt, bei dem eine Funktion gesucht ist, die eben auf Grund physikalischer Erkenntnisse, welche aus Experimenten gewonnen worden sind, eine Differentialgleichung erfüllen muß. Dies muß dann geglaubt werden und dann geht es "nur" noch darum, wie man denn nun solch eine Differentialgleichung löst.

Die zugehörigen physikalischen Experimente sind meistens zu zeitaufwendig, um sie im Mathematikunterricht durchzuführen. Ein Problem mathematisch selbst zu erfassen und dabei auf eine Differentialgleichung zu stoßen, halte ich für einen überaus wertvollen Prozeß, durch den überhaupt erst das Bewußsein für das Entstehen einer Differentialgleichung als Gleichung für eine unbekannte Funktion entwickelt wird. Ansonsten wird die Differentialgleichung als ein rein mathematisches Problem mit einem gewissem Anwendungsbezug erfahren, welches nur mathematisch interessierte Schüler motivieren kann.

 

 

4 Differentialgleichungen in den Schulbüchern

 

Die Einführung in das Thema Differentialgleichungen habe ich in vier verschiedenen Mathematikbüchern auf oben dargestellte Anwendungsorientierung untersucht:

 

"Infinitesimalrechnung 2", Bayrischer Schulbuch-Verlag, 1989

"Mathematikwerk für Gymnasien" - Oberstufe-Analysis II, Pädagogischer Verlag Schwann Düsseldorf, 1974

"Mathematik heute" - Analysis - Leistungskurs, Verlag Schroedel Schoeningh, 1977

"Lambacher Schweizer Mathematik- Analysis Zwei" Leistungskurs, Ernst Klett Schulbuchverlag , 1989

 

Das Buch vom Bayrischem Schulbuchverlag behandelt Differentialgleichungen im Kapitel "Exponential- und Logarithmusfunktion" als Unterkapitel "Exponentialfunktion in der Physik". Zunächst wird in zwei Sätzen das Newtonsche Abkühlungsgesetz beschrieben. Dann heißt es: "Das Newtonsche Gesetz erhält dann mit k als Proportionalitätsfaktor folgende mathematische Fassung:

f '(t) = k × f(t)".

Nun wird gesagt, daß dies eine Differentialgleichung ist und solche in der Physik eine wichtige Rolle spielen. Als nächstes folgt: "Bei der Suche nach Funktionen f, die die Gleichung (1) erfüllen, stoßen wir bei k = 1 auf f(t) = et. Für beliebiges k ergibt sich f(t) = ekt oder noch allgemeiner f(t) = A× ekt, denn f '(t) = A× ekt× k = k× f(t)."

Es folgt nun der Eindeutigkeitsbeweis der Lösung und danach: "Zur Bestimmung von A beachten wir, daß zu Beginn der Zeitmessung, also für t=0 gilt: f(0)=A."

Nun wird noch der Hinweis gegeben, daß die Differentialgleichung auch beim allgemeinen Wachstumsgesetz und allgemeinem Zerfallsgesetz gilt, und dann folgen Übungsaufgaben.

 

Diese Behandlung des Themas entspricht nicht meinen Vorstellungen, denn die Anwendung ist nach den ersten zwei Sätzen abgeschlossen und danach wird eigentlich nicht mehr darauf eingegangen. Für die rein mathematisch interessierte SchülerIn hätte man sich den "Aufhänger" mit dem Newtoschen Gesetz auch sparen können, zumal dieses in der knappen Darstellung meiner Meinung nach nicht zu verstehen ist. Dieses Buch ist für den Unterricht nach meinem Verständnis eher ungeeignet. Die "fertige" Mathematik wird im Schnellverfahren dargelegt und soll dann von den SchülerInnen bei der Bearbeitung von sogenannten Anwendungsaufgaben angewendet werden. Vom Entwicklungsprozeß dieser Mathematik bekommen die SchülerInnen nichts mit. Der Entstehungsprozeß der Differentialgleichung wird nicht einmal beschrieben. Ein wichtiger Kritikpunkt ist auch, daß das Problem von spezieller und allgemeiner Lösung einer Differentialgleichung überhaupt nicht ersichtlich wird, ist es doch in der Praxis oft so, daß gerade eine bestimmte spezielle Lösung gesucht wird oder von allen Lösungen die beste zu finden ist. Bei der Darstellung in diesem Buch können die SchülerInnen meines Erachtens kein Problembewußtsein für diesen Sachverhalt entwickeln.

 

 

Die gleiche Kritik trifft das Buch aus dem Schwann-Verlag. Das Thema Differentialgleichungen ist unter dem Kapitel "Physikalische Anwendungen" zu finden. Hier wird in einem kurzen Absatz der radioaktive Zerfall beschrieben. Es gilt dann wieder die Gleichung f '(x) = a × f(x), die von der e-Funktion gelöst wird. Nun folgt: "Man kann sogar zeigen, daß sich jede Lösung dieser Differentialgleichung durch einen Term der Form f(x) = c × ekx (mit c,k Î R, k ¹ 0) darstellen läßt; auf einen Beweis hierfür müssen wir verzichten."

Im Anschluß wird noch dargestellt, daß man die Lösung auch durch Integration finden kann, es folgen zunächst formale Übungsaufgaben, später Aufgaben mit Anwendungscharakter (hauptsächlich Physikaufgaben).

 

An der Kritik von zuvor ist hier nichts mehr zuzufügen, denn es handelt sich hierbei offensichtlich um den gleichen Ansatz.

 

 

Im Buch "Mathematik heute" wird unter dem Kapitel "Differentialgleichungen für Wachstums- und Abklingprozesse" in zwei Sätzen die Zellteilung beschrieben. Dann heißt es: "Mache die (biologisch begründbare) Annahme, daß in der Zeit des Wachstums die Massenzunahme f '(t) der Zelle in jedem Zeitpunkt proportional zur vorhandenen Masse f(t) ist, d. h. f '(t) = a× f(t) mit a > 0."

 

Nun geht es ähnlich weiter, wie in den ersten beiden Büchern mit dem Unterschied, daß hier nicht einfach gesagt wird, daß g(x)= k × eax Lösung ist, sondern die Aufgabe gestellt wird, dies zu zeigen. Außerdem soll eine spezielle Lösung gefunden werden und gezeigt werden, daß es keine anderen Lösungen gibt. Danach wird der Lösungsweg der Aufgabe beschrieben

 

Hier werden die LeserInnen wenigstens angeregt, selber nachzudenken, bevor sie versuchen, den Lösungsweg nachzuvollziehen. Letztendlich trifft die Kritik von oben aber wieder zu. Es wird lediglich gesagt, daß die Annahme biologisch begründbar ist. Die Motivation, sich nun mit der Differentialgleichung zu beschäftigen, ist für meine Begriffe nicht gegeben. Es wird hier nur klar, daß diese Gleichung in der Biologie eventuell eine Rolle spielt, doch nun hat das eigentlich nicht mehr zu interessieren.

 

 

Das Buch "Lambacher Schweizer Mathematik" hat mir etwas besser gefallen. Das gesuchte Kapitel heißt hier "Wachstums- und Zerfallsprozesse". Zuerst steht dort: "Bei vielen in der Natur vorkommenden Wachstumsvorgängen ist die innerhalb einer Zeiteinheit anfallende Zu- oder Abnahme nicht konstant, sondern abhängig von dem vorhandenen Bestand."

Es folgt die Beschreibung dreier Beispiele (Wachstum von Bakterien, Wachstum eines Waldes, Abnahme des Luftdrucks) und eines Gegenbeispiels.

 

Der Unterschied zu den anderen Büchern besteht nun im Wesentlichen darin, daß das Mathematisieren dieser Abhängigkeit (vom vorhandenen Bestand) beschrieben wird. Es werden mehrere Überlegungen dargelegt bis schließlich die Gleichung f '(t) = k × f(t) "entsteht". Hier kann ein ganz anderes Problembewußtsein entwickelt werden. Die SchülerInnen bekommen eine Vorstellung davon, wie es zu der Differentialgleichung kommt, denn diese wird gefunden als mathematische Charakterisierung der betrachteten Vorgänge. In den drei vorherigen Büchern hat diese Mathematisierung überhaupt nicht statt gefunden, sondern die Differentialgleichung galt eben einfach.

 

Nachdem die Lösung f(t) = a × ekt durch Integrieren gefunden worden ist, wird deutlich betont, daß a der Anfangsbestand zur Zeit t = 0 ist. Es werden die Begriffe Verdopelungs- und Halbwertszeit erklärt und dann noch drei konkrete Beispiele mit den neuen Erkenntnissen betrachtet. Jetzt erst folgen Übungsaufgaben (überwiegend sogenannte Anwendungsaufgaben).

 

Zwar werden auch in diesem Buch meine Vorstellungen der Anwendungsorientierung noch nicht ganz erfüllt, da die SchülerInnen nicht selbst auf die Differentialgleichungen stoßen. Jedoch muß man eingestehen, daß ein Schulbuch auch nicht den Untericht ersetzen kann. In dem letzten Buch wird jedenfalls auf die mathematische Modellbildung, das Mathematisieren und dem Entstehungsprozeß der Mathematik mehr Wert gelegt als in den anderen drei Büchern, wo die "fertige Mathematik" präsentiert wird.

 

 

5 Unterrichtsvorschlag

 

 

5.1 Bierschaum als mathematischer Unterrichtsgegenstand

 

Ein Problem zu finden, bei dem die SchülerInnen selbst auf eine Differentialgleichung stoßen können, war nicht einfach. Ich dachte zunächst an physikalische Probleme, doch nichts überzeugte mich. Die SchülerInnen sollten eben nicht nur die physikalische Anwendung zur Kenntnis nehmen und die Differentialgleichen dann als gegeben ansehen. Ich dachte immer, die SchülerInnen müßten physikalische Experimente machen, wobei sie Gesetzmäßigkeiten erfahren und dann beim Mathematisieren auf eine Differentialgleichung stoßen. Doch die physikalischen Experimente, z.B. zur Radioaktivität erschienen mir zu arbeits- und zeitaufwendig um sie im Mathematikunterricht durchzuführen, es sollte schließlich kein Physikunterricht sein.

Bei interessanten realen Anwendungen aus der Technik hingegen müßte man wieder so viele Vereinfachungen und Einschränkungen machen, daß sie wieder nichts mit der realen Praxis zu tun haben, was ja auch nicht in meinem Sinn lag, wie ich schon am Anfang erwähnt habe.

Schließlich erinnerte ich mich daran, daß Bierschaum nach dem allgemeinen Zerfallsgesetz zerfällt. Das würde sich im Unterricht relativ schnell durchführen lassen, da Bierschaum in wenigen Minuten zerfällt und direkt mit dem Auge beobachtbar ist. Leider fand ich auch nach langer Suche in der Bibliothek keinerlei Literatur zu diesem Sachverhalt, ich selbst hatte dies nur einmal in der Schule gehört, aber keine Unterlagen dazu. Mehrere Lehramtsstudentinnen der Chemie versicherten mir aber, daß der Bierschaumzerfall ein beliebter Versuch im Chemieunterricht zum Thema Radioaktiver Zerfall währe. Ich dachte das könnte vielleicht auch was für den Mathematikunterricht sein. Es stellte sich aber zu Hause heraus, daß es mit einfachen Mitteln nicht möglich war die Abnahme des Bierschaumes zu messen. Allerdings merkte ich schnell, daß sich die Biermenge relativ gut ermitteln läßt. Wenn es sich aber bei der Umwandlung von Schaum in Bier also um einen Zerfall handelt, so muß es sich bei der Zunahme des Biers um Wachstum handeln, allerdings um beschränktes Wachstum. Ich will zunächst die mathematischen Zusammenhänge grob darstellen.

 

Wenn man die Höhe des Bierstandes H (von Glasboden bis Schaumanfang) als Funktion der Zeit t auffaßt, so steigt H(t) nach dem Einschenken an bis zu einer Grenze G (irgendwann ist der Schaum zerfallen). Der Schaum zerfällt zunächst schnell, dann langsam. Entsprechend steigt H zunächst schnell, später langsam an. Da der Schaum dem Zerfallsgesetz gehorcht, muß H(t) folgender Differentialgleichung genügen:

 

H'(t) = k × (G-H(t))

 

Der Zuwachs von H pro Zeiteinheit ist um so geringer, je mehr sich der momentane Stand H(t) der Grenze G nähert, d.h. H'(t) ist proprtional zur Differenz G - H(t)

 

Unterrichtsziel kann es nun sein, die Funktion H(t) zu finden.

 

Wenn man Bier in ein Glas schüttet und H in gleichen Zeitabschnitten Dt mißt kann man ein H-t-Diagramm erstellen. Dadurch kann man den Kurvenverlauf von H(t) erkennen, jedoch kann noch nicht die Funktion explizit angegeben werden. Wenn aber in gleichen Zeitabschnitten Dt gemmessen wurde kann man den jeweiligen Zuwachs H(t + Dt) - H(t) berechenen. Wenn t1, .., tn die Meßzeitpunkte sind, läßt sich jedem H(ti) der Wert   zuordnen. Dieser Wert stellt eine Näherung für H(ti) dar. Trägt man nun diese Näherungen für H(ti) gegenüber H(ti) in einem Graphen ein, so müssen alle Punkte in etwa auf eine Gerade liegen (weil H'(t) = k × (G-H(t)) gilt). Der Graph kann als H' - H -Diagramm interpretiert werden. Man kann nun also vermuten (wegen der Gerade), daß H'(t) = -a × H(t) + C gilt mit a, C Î R und und a, C > 0. Dies ist die erwartete Differentialgleichung, denn mit k = a und G = C/a haben wir wieder H'(t) = k × (G - H(t)).

 

 

5.2 Vorrausetzungen und Vorbereitungen

 

Die SchülerInnen sollten die Differentialrechnung abgeschlossen haben und die e-Funktion einigermaßen kennen, zumindest sollte bekannt sein, daß e'(x) = e(x) ist. Man könnte auch ohne Integralrechnung in das Thema einsteigen, ich halte es aber für sinnvoller auch die Integralrechnung vorher zu behandeln, da man dann tiefer in das Thema einsteigen kann, insbesondere wenn man sich mit dem Lösungsverfahren der "Trennung der Variablen" (beidseitiges Integrieren) beschäftigen will. Für einen kleinen Einblick in das Thema, so wie er in meinem Vorschlag gegeben ist, muß die Integralrechnung jedoch nicht unbedingt vorrausgesetzt werden.

 

Da im Unterricht die SchülerInnen Bierschaum-Messungen machen sollen, werden einige Flaschen Bier (es geht natürlich auch alkoholfreies Bier), einige Stoppuhren und Meßzylinder benötigt. Probemessungen sollten zuvor unbedingt gemacht werden, da die Schaumentwicklung auch vom Gefäß abhängig ist.

 

 

5.3 Ziele

 

Ziel meines Unterrichtsvorschlages ist, daß die SchülerInnen Differentialgleichungen als Gleichung mit einer Funktion als Unbekannte entdecken. Dabei sollen sie die Bedeutung von spezieller und allgemeiner Lösung verstehen. Am Ende sollten Probleme mit beschränkten Wachstum erkannt werden und in der mathematischen Form f '(t) = k× (G-f(t)) (f(t) = Bestand zur Zeit t; G = Grenzwert, dem sich der Bestand für t ® ¥ nähert) aufschreiben können. Sie sollen wissen, daß diese Gleichung durch f(t) = G - a× e-kt gelöst wird.

Im weiteren Verlauf des Unterrichts sollen diese Kenntnisse auf Probleme des natürlichen Wachstums bzw. Zerfalls mit f '(t) = k× f(t) bzw. f '(t) = - k× f(t) erweitert werden.

 

5.4 Unterrichtsverlauf

 

 

 

 

 

Zunächst soll der Klasse das Problem dargelegt werden, daß beim Einschenken von Bier Schaum entsteht, der dann nach und nach verschwindet, während sich das Biervolumen vergrößert. Die Schülerinnen und Schüler bekommen die Aufgabe, herauszufinden in welcher Weise das Biervolumen zunimmt. Es soll die Funktion H(t) , welche jeder Zeit eine bestimmte Höhe des "Bierstandes" (siehe Skizze) zuordnet, gefunden werden. Dazu sollen Kleingruppen gebildet werden, jede Gruppe bekommt ein Glas und eine Flasche Bier. Es soll zunächst frei beobachtet werden. Die Beobachtungen werden dann an der Tafel gesammelt. Dabei kommt es mir besonders auf folgende Beobachtung an:

 

"Am Anfang steigt der Bierstand H schnell an, am Ende steigt H langsam"

 

Diese Beobachtung wird sicherlich festgestellt.

 

Es stellt sich aber heraus, daß dies nicht ausreicht um H(t) anzugeben.

Deshalb bekommt jetzt jede Gruppe eine Stoppuhr, mit der sie Messungen machen kann. Es empfiehlt sich in der Schule statt Gläser Meßzylinder mit cm-Skala zu benutzen. Mir selbst stand kein Meßzylinder zur Verfügung, so daß ich für das folgende Beispiel ein zylinderförmiges Glas und ein Lineal verwendet habe, was die ganze Messung sehr viel ungenauer macht.

 

Es ist klar, daß zunächst verschiedene Höhen H zu verschiedenen Zeiten t gemessen werden, das muß den SchülerInnen nichteinmal gesagt werden, denn schließlich will man H(t) finden. Ideale Gruppen bestehen aus drei Personen, denn dann kann eine Person die Skala ablesen, eine die Uhr ablesen und eine notieren.

Es empfiehlt sich gleiche Zeitabschnitte zu nehmen, dies werden wohl die meisten Gruppen intuitiv tun, ansonsten sollte man der entsprechenden Gruppe diese Empfehlung geben.

Die SchülerInnen werden schnell feststellen, daß 5 Sekunden zu kurz sind um vernünftig ablesen und notieren zu können. Bei meinen eigenen Messungen haben sich 10 Sekunden als geeigneter Zeitabstand herausgestellt, in einer gewissen Toleranzgrenze kann man diese Entscheidung aber den SchülerInnen überlassen.

Als weiteres Problem wird die Frage nach der Höhe H zum Zeitpunkt t=0 auftauchen. Dieses Problem sollte, sobald es auftritt, besprochen werden. Es wird meiner Meinung nach schnell ersichtlich werden, daß H(0) definiert werden muß. Wie das geschieht ist an sich egal, nur sollte man sich einigen. So kann man z. B. zum Zeitpunkt t=0 anfangen, einzuschenken, was H(0)=0 zur Folge hätte. Es ist aber durchaus möglich den ersten Meßwert als H(0) zu definieren.

Als Lehrer gehe ich während die SchülerInnen arbeiten herum und beobachte die einzelnen Gruppen, um eine besonders "gelungene" Meßreihe zu finden, die dann an die Tafel geschrieben wird.

 

Beispiel:

t [sek]

H(t) [cm]

0

0

10

2,6

20

3,6

30

3,9

40

4,1

50

0

 

Dazu sollen die SchülerInnen den Graphen zeichnen. Auf der Tafel sollte der Graph auch erscheinen.

 

Der Funktionsgraph hat eine Form, die den meisten Schülern unbekannt sein dürfte, so daß auch jetzt noch nicht klar ist, wie die Gleichung von H(t) lautet.

An dieser Stelle werde ich als Lehrer noch einmal an die Beobachtung, daß H am Anfang schnell und am Ende langsam steigt, erinnern und fragen, wie weit diese Beobachtungen in der bisherigen Analyse eingegangen ist. Anhand des Graphen läßt sich diese Beobachtung ebenfalls ablesen, aber es gibt keine neue Erkenntnis über die formale Gestalt von H(t). Auf die Frage, wie sich die Aussage, daß H schnell bzw. langsam steigt, anders formulieren läßt, wird man irgendwann zum Begriff der Geschwindigkeit kommen. Hier wird die Steiggeschwindigkeit V des Bieres eingeführt, und zwar V(t) := H'(t). Dies dürfte mit dem Hintergrundwissen der SchülerInnen über die Bedeutung von Ableitungen keine Probleme machen. Es soll nun festgestellt werden, daß zwar V(t) nicht gemessen wurde, aber daß sich die mittleren Durchschnittsgeschwindigkeiten   zu den entsprechenden Meßzeitpunkten t berechnen lassen. Es könnte sein, daß der Vorschlag entsteht, nun diese Werte gegenüber der Zeit in einem Graphen einzutragen um quasi etwas über V(t) aussagen zu können. In diesem Fall würde ich die Frage an die Klasse weiter geben, ob dies ein guter Vorschlag ist. Nach kurzer Besprechung wird sicherlich schnell klar, daß dies nur wieder eine Bestätigung der bisherigen Beobachtungen sein wird und keine neuen Erkenntnisse für die Funktion H(t) ergibt, zumal sich der Kurvenverlauf von V(t) aus dem zuvor erstellten Graphen ableiten läßt.

Nun werde ich, falls der Zsammenhang in der Klasse bisher noch nicht festgestellt wurde, darauf hinweisen, daß die Aussage "Am Anfang steigt der Bierstand H schnell an, am Ende steigt H langsam" den Zusammenhang zwischen H und V darstellt. Wenn H niedrig ist, ist die Geschwindigkeit V hoch, während es bei hohem Stand H umgekehrt ist. Um dies genauer zu untersuchen, können nun die berechneten mittleren Durchschnittsgeschwindigkeiten gegenüber H in einem Graphen eingetragen werden. Zuvor sollte aber die Tabelle erweitert werden.

 

 

Beispiel:

 

t [sek]

H(t) [cm]

  [cm/sek], Dt = 10 sek

0

0

0,26

10

2,6

0,1

20

3,6

0,03

30

3,9

0,02

40

4,1

0,01

50

0

 

 

 

 

Zu sehen ist, daß alle Punkte des Graphen ungefähr auf einer Geraden liegen. Es wird sicher auch Gruppen geben, die ein anderes Ergebnis haben, doch weitgehend ist ein ähnlicher Graph wie oben zu erwarten. Ich habe den Versuch mehr als zehn mal durchgeführt und kam immer zu ähnlichen Ergebnissen.

 

Es ist den SchülerInnen bereits bekannt, daß lim (Dt ® 0)   = H'(t) = V(t).

Dies soll die SchüleInnen zu folgender logischen Vermutung führen:

 

V(t) = k × H(t) + C bzw.

 

H'(t) = k × H(t) + C ; k, C = Konstanten

 

So sollte es dann auch auf der Tafel stehen. Diese zu behandelnde Differentialgleichung sollte meiner Meinung nach zunächst für konkrete Parameter betrachtet werden.

 

Die SchülerInnen sollen nun die Steigung k der Geraden bestimmen, dies können sie machen, wie sie wollen. Das kann natürlich nur sehr grob geschehen, aber es kommt hier ja auch nicht auf exakte Werte an.

 

C » 0,26 ; k »   = - 0,061 (auf obiges Beispiel bezogen)

Der vermutete Zusammenhang führt somit zur Gleichung

 

H'(t) = -0,061 × H(t) + 0,26 (1)

 

Damit ist die Differentialgleichung gefunden, die von den Schülern allerdings als solche noch nicht erkannt wird. An dieser Stelle kann man den Begriff "Differentialgleichung" einführen und die Klasse nach einer Idee für H(t) fragen. Hat niemand eine Idee, kann man als Tip die Aufgabe stellen, zunächst die Gleichung

 

H'(t) = - 0,061× H(t) (2)

 

zu betrachten. An dieser Stelle wird eventuell schon das Stichwort "e-Funktion" fallen. Spätestens bei der Betrachtung H'(t) = H(t) wird jemanden einfallen, daß die Exponentialfunktion et die Gleichung löst. Durch probieren wird es nicht lange dauern bis jemand feststellt, daß H(t) = e-0,061× t die Gleichung (2) löst.

Obwohl die Lösung der Gleichung (1) noch nicht gefunden ist, glaube ich, daß einige SchülerInnen jetzt spüren, daß man der gesuchten Funktion H(t) auf der Spur ist.

Es gilt jetzt Gleichung (1) zu betrachten, ich glaube der Sprung von einer Lösung der Gleichung (2) zu einer Lösung der Gleichung (1) ist durch einfaches "Knobeln" nicht zu machen. Deshalb soll nun folgender Tip gegeben werden:

 

H'(t) = -0,061 × H(t) + 0,26

Þ H'(t) = -0,061 × (H(t) -  )

Tip: Substituiere U(t) = H(t) -  

 

Mit diesem Tip kann nun eine Lösung für (1) gefunden werden.

 

 

Aus Gleichung (1) folgt

 

U'(t) = -0,061× U(t) und diese Gleichung wird durch U(t) = e-0,061× t gelöst. Nun wurde aber

U(t) = H(t) -   substituiert, es folgt also e-0,061× t = H(t) -   und damit

 

H(t) = e-0,061× t +   ist Lösung von (1)

 

Diese Lösung soll nun durch eine Probe bestätigt werden

 

Eine Lösung ist zwar nun gefunden worden, allerdings werde ich jetzt, falls es nicht schon ein Schüler gemerkt hat, darauf hinweisen, daß mit der gefundenen Lösung H(0) =   ist und nicht 0, wie es doch vorher definiert wurde. Die SchülerInnen sollen nun überlegen, ob die Vermutung falsch war, oder ob es vielleicht auch noch eine andere Lösung von (1) gibt die den Meßergebnissen näher kommt.

Es sollte hier der Rat gegeben werden noch einmal Gleichung (2) zu betrachten:

 

Festgestellt wurde, daß H(t) = e-0,061× t die Gleichung H'(t) = - 0,061× H(t) löst.

 

Auch wenn niemand aus der Klasse es herausfindet, ist schnell verifiziert, daß alle Funktionen H(t) = a× e-0,061× t mit a Î R die Gleichung H'(t) = - 0,061× H(t) lösen.

 

Spätestens hier können die Schüler alleine weiterarbeiten und finden schließlich als allgemeine Lösung von (1):

 

H(t) = a× e-0,061× t +  

 

für die Anfangsbedingung H(0)=0 ergibt sich dann a = -  

Ein bzw. mehrere Schüler sollten dies nun an der Tafel vorführen.

Auch jetzt noch weichen die berechneten Höhen H(10), H(20) u.s.w. von den gemessenen Werten etwas ab. Dies läßt sich jedoch mit der sehr ungenauen Meßmethode und der sehr ungenauen Bestimmung der Geradensteigung leicht erklären.

 

Als nächstes stelle ich die Frage in den Raum, ob es Zufall ist, daß   = 4,26 fast dem letzten Bierstand entspricht, wo kein Schaum mehr vorhanden ist.

Wenn es hierzu keine Ideen gibt, kann als Impuls in die Klasse gegeben werden, nocheinmal Gleichung (1) anzuschauen unter Ausklammern von 0,061:

 

H'(t) = 0,061 × (   - H(t))

An dieser umgeformten Differentialgleichung wird deutlich, daß es sich keineswegs um einen Zufall handelt, denn die Gleichung drückt aus, daß H'(t), also die Anstiegsgeschwindigkeit, proportional zur Differenz (   - H(t)) ist. Bei großer Differenz (viel Schaum) ist die Anstiegsgeschwindigkeit groß, ist die Differenz hingegen klein (wenig Schaum), ist die Anstiegsgeschwindigkeit entsprechend kleiner. Dies spiegelt schließlich die Ursprüngliche Beobachtung, daß H am Anfang schnell steigt, wieder.

Nun würde ich als Übungsaufgabe vorschlagen, die allgemeine Differentialgleichung

H'(t) = k × H(t) + C zu lösen. Dies soll dann an der Tafel vorgerechnet werden mit dem Ergebnis H(t) = - a × e-kt + C/a , aÎ R.

 

Für diesen Unterrichtsvorschlag würde ich zwei bis drei Doppelstunden veranschlagen.

 

Im weiteren Verlauf würde ich ein weiteres Beispiel des beschränkten Wachstums behandeln, z. B. Verkauf eines Haushaltsartikels (Lambacher Schweizer Mathematik, Analysis Zwei LK, Seite 355).

Als nächstes würden Probleme des natürlichen Wachstums oder Zerfall behandelt, was nach dem bisherigen stand relativ leicht fallen dürfte, da es sich hier um vereinfachte Differentialgleichungen des beschränkten Wachstums handelt. Je nachdem, ob es sich um einen Leistungskurs oder Grundkurs handelt würde meines Erachtens nun der Eindeutigkeitsbeweis der Lösung folgen bzw. das Lösungsverfahren durch beidseitige Integration.

Zur weiteren Vertiefung könnten die Schwingungs-Differentialgleichung (zweiter Ordnung) und numerische Näherungsverfahren folgen.

 

 

6 Schluß

 

Den Unterrichtsvorschlag habe ich mir ohne eine Vorlage zu haben selbst ausgedacht, er kann sicherlich noch überarbeitet werden, dafür müßte er allerdings zunächst getestet werden. Die Meßungenauigkeit des Schaum-Versuchs ist unbefriedigend und die Erstellung des H' - H -Diagramms erscheint doch als ein etwas merkwürdiges Verfahren, wenn auch in der Praxis durchaus nicht unüblich (siehe Geschwindigkeitsmessungen in der Physik).

Der entscheidende Vorteil liegt meiner Meinung nach darin, daß es sich um einen Versuch handelt der relativ schnell durchgeführt werden kann. So können dann die eigenen Meßergebnise benutzt werden, und es müssen keine anderen Daten vorgegeben werden. Desweiteren nmüssen keinerlei Veranfachungen gemacht werden, die dann dem eigentlichen Problem nicht mehr entsprechen würden.

Nun ist der Zerfall von Bierschaum natürlich kein wirkliches Problem, das uns im täglichen Leben zu schaffen macht, allerdings findet man bei bedeutungsvolleren Problemen sicherlich Ähnlichkeiten in der Vorgenhensweise, worauf es mir schließlich ankam, wie auch aus meinen anfangs erwähnten Ausführungen zur Anwendungsorientierung ersichtlich ist.

 

Im Mathematikunterricht mit Bierschaum konfrontiert zu werden ist auf jedenfall erst einmal erstaunlich und weckt bestimmt Interesse.

 

 

Literatur

 

"Infinitesimalrechnung 2", Bayrischer Schulbuch-Verlag, 1989

"Mathematikwerk für Gymnasien" - Oberstufe-Analysis II, Pädagogischer Verlag Schwann Düsseldorf, 1974

"Mathematik heute" - Analysis - Leistungskurs, Verlag Schroedel Schoeningh, 1977

"Lambach Schweizer Mathematik- Analysis Zwei" Leistungskurs, Ernst Klett Schulbuchverlag , 1989